Felsefe ve Matematik

/ 19 Mayıs 2020 / / yorumsuz

Felsefe ve Matematik

Felsefe ve matematiğin ilişkisi felsefenin tarihi kadar eski bir ilişki.



Filozoflar mı matematikçidir, matematikçiler mi filozof olmuştur? Bu soruya nereden baktığınıza göre iki şekilde de cevap vermek mümkündür. Çünkü felsefenin doğduğu kabul edilen Eski Yunan’a gittiğimizde, bilinen ilk filozof olan Thales’ten itibaren matematik ve felsefenin birbirinden kopmaz biçimde bir arada yürüdüğünü görebiliriz.

Thales

Miletli Thales (d. MÖ 624 – ö. MÖ 546), Sokrates öncesi dönemde yaşamış olan Anadolulu bir filozoftur. İlk filozoflardan olduğu için felsefenin ve bilimin öncüsü olarak adlandırılır. Eski Yunan’ın Yedi Bilge’sinden ilkidir. Ticaretle uğraşmış ve bu nedenle Mısır’da bulunmuştur. Elimize ulaşmış hiçbir metni yoktur. Yaşadığı döneme ait kaynaklarda da adına rastlanamaz ancak hakkındaki bilgiler Herodot, Diogenes Laertios, Aristoteles, Teophrastos gibi antik yazarlardan edinilir.

Bertrand Russell’e göre Felsefe Thales’le başlamıştır. Platon, Theaetetus’da, Thales’den yıldızları incelerken önündeki kuyuyu görmeyen biri olarak bahseder. Aristoteles ise, zeytinin bol çıkacağı yılı tahmin edip izlediği stratejiden ötürü, başarılı bir iş adamı olarak anar.

Diogenes Laertios’un söylediğine göre, Yedi Bilgeler Atina’da MÖ 582 civarında kuruldu. Thales Yedi Bilgelerin arasında yer almaktadır.

Thales günümüzde felsefe ders kitaplarında Arkhe arayışı ve arkhe olarak “su”yu göstermesi, düşünceyi mitolojiden arındırarak kendi gözlemleri ve aklı ile doğayı-varlığı açıklamaya çalışması nedeniyle yer bulur. Thales’in ticari amaçlarla Mısır ve Mezopotamyayı gezmiş ve bu kültürleri tanımış, yararlanmış olması da Eski Yunan kültürünü daha eski kültürlerle bağlantısını kurmak için bir dayanak olmuştur.

Çağına göre geniş ilgi alanı olduğu, astronomi ve mühendislik ile de ilgilendiği biliniyor.

Herodot’a ve Eudemos’a göre (28 Mayıs MÖ 585’te gerçekleştiği kabul edilen) Güneş tutulmasını önceden hesaplayıp haber vermiştir. Bu hesabı mevcut bilgisiyle yapamayacağı, Babil’e seyahat ettiği ve o sırada edindiği bilgilerden faydalandığı düşünülür. Astronomi ile uğraşan ve gün dönümlerini önceden hesaplayan biri olarak astronomdur.

Thales’in, bir kuleden, denizdeki gemilerin uzaklıklarını geometrik yöntemlerle hesaplayabilmekte olduğu söylenir. Gölgemizin bizimle aynı uzunlukta olduğu zamanı gözleyerek, piramitlerin uzunluğunu, gölgelerine bakarak hesaplamıştır. Aynı zamanda Nil nehrinin yükselmesinin rüzgâra bağlı olduğunu bulmuştur.

Ancak filozof Thales’in esas önemli ilgi alanlarından ve başarılarından birisi matematiktir.

Thales bağıntısı ve Thales’in matematiğe katkıları



Matematik alanında çığırlar açmış birisidir. Eski Yunan bilginlerinden Kallimakhos’un aktardığı bir düşünceye göre denizcilere kuzey takım yıldızlarından Büyükayı yerine Küçükayı’ya bakarak yön bulmalarını öğütlemiştir. Aynı zamanda Mısırlılardan geometriyi öğrenip Yunanlara tanıtmıştır. Bulduğu bazı geometri teoremleri şunlardır:

  • Çap çemberi iki eşit parçaya böler.
  • Bir ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.
  • Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu ters açılar birbirine eşittir.
  • Köşesi çember üzerinde olan ve çapı gören açı, dik açıdır.
  • Tabanı ve buna komşu iki açısı verilen üçgen çizilebilir.
  • Genelleştirilmiş Thales teoremine göre, E noktası AC doğru çizgisi üzerinde olmasa, içeride veya dışarıda olsa bile CB/BA=(AB^t-BD^t)^(1/t)/ED vardır. (t=1) hali bilinen klasik Thales teoremidir.

Pisagor (Pythagoras)

Kendisini filozof (bilgelik dostu) olarak adlandıran ilk ilk matematikçi Pisagor ya da Pythagoras, MÖ 570 – MÖ 495 yılları arasında yaşamış olan İyonyalı filozof,  matematikçi ve  Pisagorculuk olarak bilinen akımın kurucusudur.

En iyi bilinen önermesi, kendi adıyla anılan Pisagor teoremidir. “Sayıların babası” olarak bilinir. Pisagor ve öğrencileri her şeyin matematikle ilgili olduğuna, sayıların nihâî gerçek olduğuna, matematik aracılığıyla her şeyin tahmin edilebileceğine ve ölçülebileceğine inanmışlardır.

Kendisini filozof, yani bilgeliğin dostu olarak adlandıran ilk kişiydi. Pisagor, düşüncelerini yazıya dökmediği için hakkında bilinenler öğrencilerinin yazılarında anlattıklarıyla sınırlıdır. Pisagor’a atfedilen birçok eser, gerçekte onun öğrencilerinin olabilir.

Pisagor Teoremi ve Pisagorculukta Sayılar



Bir dik açılı üçgende dik kenarların her birinin uzunluklarının karelerinin toplamları, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Bu teoremin matematik formülle ifadesi şöyledir: c2 = a2+ b2

Bir anlatıya göre; demirciler çalışırken örslerinden çıkan sesi duyan Pisagor bunun çok uyumlu olduğunu düşünmüş ve “Doğa kanunları buna izin veriyorsa, bu kanunlar matematikseldir,” demiştir. Bundan hareketle, notaların matematiksel formüllere dönüştürülebileceğini keşfetmiştir. Böylece matematik ve müzik arasında bağlantı kurmuştur. Ayrıca ses perdesi ile tel uzunluğu arasında bir ilişki olduğunu bulmuştur. Ondan sonrakiler sayı oranlarında seslerin gizli bağlantılarını aramaya girişip bir sesin niteliği ile ses dizisindeki yerini bu sese karşılık olan sayının niteliği ve sayılar dizisindeki yeri ile bir tutmuşlardı. Matematik ile böylesine yakından uğraşan Pisagorcular, sayılardan edindikleri bilgileri genelleştirerek sayıları bütün varlığın ilkeleri (arkhe) yapmışlardır.

Bir sayısı temel sayıdır. Tek ve çift sayıları meydana getirendir. Sayıların ve varlıkların sonsuz dizisi Bir’den çıkar. İki türlü Bir vardır. İlki, bütün sayılar (varlıklar) zincirinin içinden çıktığı ve sonuç olarak da onları içeren, kuşatan, özetleyen, karşıtı olmayan Mutlak Bir’dir. Bütün varlıkların değişmez ilkesi ve ebedî kaynağı, sarsılmaz ilkesidir.

İki sayısı dişiliği ve doğanın bu dişilikten geldiğini ifade eder. Üç sayısı uyum ve düzenle maddenin içerdiği üçlü öğeyi temsil eder. Bu sayı, başlangıcı, ortası ve sonu olan ilk rakamdır, yetkin bir sayıdır. Dört tanrısal gücü simgeler. İlk çift sayı olan İki’nin kendisi ile çarpımından elde edilen bu sayı adaletin de simgesidir. Beş sayısı evliliğin simgesidir. Altı organik ve hayati varlıkların türlü şekillerini gösterir. Burada dişilik ilkesi olan (2), erkeklik ilkesi olan (3), mutlak (1) ile birleştiği için soyların devamını da gösterir. Yedi sayısı kritik sayıları temsil eder. Örneğin, yedi günlük, yedi aylık ya da yedi yıllık dönemlerin varlıkların gelişiminde baskın rolleri vardır. Sekiz sayısı akıl, ahlâk ve erdemin temsilcisidir. Dokuz sayısı mutlak Bir ayrı tutulacak olursa ilk tek sayı Üç’ün karesidir. O da Dört sayısı gibi adaleti temsil eder.

Gelelim On sayısına: Yetkin bir sayıdır bu. Her şey ondan çıkar. Yaşamın ilkesi ve yol göstericisidir. Göksel ve tanrısal olduğu kadar insanidir de. Eğer On’lu olmasaydı her şey belirsizlik içinde ve karanlıkta kalırdı. Bütün sayıların temelidir o. On sayısının içinde ilk olarak eşit sayıda tekler ve çiftler bir araya gelmiştir. (1,3,5,7,9 ve 2,4,6,8,10) vb.

Sayıların Kullanım Adları

“Onlardan bazıları da bunların düzenli bir sırada sıralanan on temel ilkesi olduğunu söylerler:

  • Sınırlı-Sınırsız
  • Tek-Çift
  • Bir-Çok
  • Sağ-Sol
  • Erkek-Dişi
  • Duran-Hareket eden
  • Doğru-Eğri
  • Aydınlık-Karanlık
  • İyi-Kötü
  • Kare-Dikdörtgen”

Platon ve Akademisi

Pisagor’dan etkilenen filozofların en önemlisi Platon’dur. Platon kurduğu Akademi’nin kapısına yazdırdığı “Bu kapıdan geometri bilmeyen giremez.” yazısı ile tanınır.

Platon’a olan etkisi üç konudadır:

  • Platon okulu, Pisagor’un Kroton’da kurduğu okullarla benzerlik göstermektedir.
  • Platon muhtemelen matematiğin felsefi düşünmeye güvenli bir temel olduğu düşüncesini Pisagor’dan almıştır.
  • Platon ve Pisagor ruha giden gizemli bir yol ve onun maddesel dünyadaki yeri düşüncesini paylaşmışlardır. Bu her ikisinin de Orfeusçuluktan etkilendiğini gösterir.

Platon’un üçüncü kuşak Pisagorcular’dan geometriye birçok katkısı olan ve Öklid’in “Öğeler” adlı eserinde aksettirdiği Arkhytas’tan etkilendiği açıktır.

Akademi adı, Atina yakınlarındaki Akademeia adlı bir zeytinlikten gelir. Bu zeytinlikte Eski Yunan düşünür Platon, matematik, doğa bilimleri ve yönetim biçimi gibi çeşitli konularda öğrencilerine ders veriyordu. Eflatun (Platon)’un MÖ 4. yüzyılda ders verdiği bu okul, tarihteki ilk akademi olarak kabul edilir.

Platon’un Akademi geleneğini, onun ölümünden sonra öğrencileri ve felsefesini benimseyenler sürdürdüler. Akademi’ye devam eden öğretmen ve öğrencilerin en çok ilgi gösterdikleri konular bilim, sanat, edebiyat ve müzikti. MS 529’da, Bizans İmparatoru I. Justinianus, Akademi’nin çalışmalarına son verdi.

Elealı Zenon

Elealı Zenon veya Zeno, Parmenides’in izleyicisi olan Antik Yunan filozofu. Elea Okulu’nun en önemli filozofları arasında yer alır.

Zeno, hocası Parmenides’in Bir’ci anlayışını ve yalnızca Varlık’ın değişmez gerçek olduğunu öne süren görüşünü geliştirmiş, çokluk ve değişmenin gerçek olduğunu savunan karşıt görüşlerin tezlerine karşı mantıksal güçlükleri gözler önüne seren dolaylı kanıtlarla değişimin olanaksızlığını göstermeye çalışmış, ileri sürdüğü örneklemeleriyle felsefe tarihinde ün kazanmıştır. MÖ 490 – MÖ 430 yılları arasında yaşadığı rivâyet edilse de doğum ve ölüm tarihi kesin değildir.

Zeno bir mantık ustası ve diyalektik düşüncenin en önemli geliştiricilerinden biridir. İleri sürdüğü önermeler, felsefe tarihinin en önemli paradoksları arasında yer almaktadır. Bunlardan en ünlüleri Aşil paradoksu ve Ok paradoksu olarak belirtilebilir. Zeno bu örneklemelerden hareketle değişimi bir yanılsama olarak formüle eden felsefesini temellendirir.

İlk paradoksta, ünlü bir Yunan koşucu olan Aşil, bir kaplumbağayla yarışacaktır. Kaplumbağa biraz daha önde olacaktır koşuya başlarken. Zeno, bu koşuda hızlı Aşil’in hiçbir zaman kaplumbağayı geçemeyeceği, bunun mantıksal olarak mümkün olmadığını öne sürer. Çünkü her seferinde Aşil’in aşması gereken bir mesafe kalacaktır, kaplumbağanın bulunduğu noktaya her gelişinde kaplumbağa bir başka noktaya geçmiş olacaktır ve Aşil’in onu geçebilmesi için her seferinde bu noktaları öncelikle geçmiş olması gerekir. Ok paradoksunda da benzer bir sonuca varılır.

Buradaki temel argüman şöyledir: Mesafe sonsuz noktalardan oluşmaktadır ve bunlar sonlu bir süre içinde geçilemezdir. Böylece Zeno mantıksal ve diyalektik olarak bilinen diyalektikcilerin tam karşıt yönünde hareketin ve değişmenin olanaksız olduğunu, bunların bir yanılsama olduğunu ve temelde varlık’ın değişmeyen bir halinde bulunduğunu öne sürer.

Yeni Çağda Felsefe Matematik İlişkileri

Descartes, Pascal, Kant ve Russel gibi isimler başta olmak üzere filozofların hemen tamamının iyi bir matematik eğitimi aldıklarını Descartes ve Pascal ise matematiğe önemli katkılarının olduğunu görüyoruz.

Descartes ve Analitik geometri



Analitik geometri (Osmanlıca: Tahlili hendese, Fransızca: Géometri analytique), geometrik çalışmaya cebrik analizi uygulayan ve cebrik problemlerin çözümünde geometrik kavramları kullanan bir matematik dalı. Bütün bunlar kartezyen sistem denilen bir koordinat sisteminin kullanılmasıyla mümkündür. Kartezyen kelimesi, batıda analitik geometride ilk bilimsel çalışmayı yapan René Descartes’tan gelmektedir.

Fransız düşünürü Descartes’ın çok önemli bir buluşudur. Descartes’a gelinceye kadar geometri problemleri ayrı ayrı yöntemlerle, sistemsiz olarak ve anlak gücüyle çözümleniyordu. Descartes’ın Kartezyen koordinat sistemini kullanarak ve cebir dilini geometriye uygulayarak bulduğu bu yöntemle geometri problemleri cebir denklemelerine çevrildi ve cebirle çözümlendikten sonra geometri diliyle açıklandı. Birçok fizik probleminin çözümü de bu yöntemle kolaylaşmış oldu.

Uzay analitik geometride temel bir konu, bir eğrinin veya belirli şartlar altında herhangi bir doğru veya noktanın kendi hareketiyle meydana getirdiği yüzeyin denklemidir. Denklem, eğriyi meydana getiren her bir nokta kümesi tarafından sağlanan sayısal terimlerle ifade edilir. r, dairenin yarıçapı ise daire denklemi:

x² + y² = r2

Mesela, merkezi başlangıçta olan birim yarıçaplı daire, başlangıçtan, birim uzaklıktaki noktalar kümesidir. Bir çember üzerindeki herhangi bir nokta (x,y) koordinatlarına sahipse, birim yarıçaplı çemberin denklemi :

x² + y² = 1 olur.

Bu denklem, çember üzerindeki her noktanın koordinatları tarafından sağlanır. Benzer şekilde x² + y²= 4 denklemi merkezi başlangıçta ve yarıçapı iki birim olan çemberin denklemidir.

Bazı geometrik ifadeler eşitsizliklerle ifade edilebilir. Mesela;
x² + y² < 1 yukarıda tarif edilen çemberin içindeki bütün noktaları;
x² + y² > 1 denklemi de dışındaki bütün noktaları ifade eder.
1 < x² + y² < 4 eşitsizliği x² + y² = 1 ve x² + y² = 4 denklemi bu iki çember arasındaki alanın noktalarını gösterir. Analitik geometri, x ve y eksenlerine bir noktada dik olan üçüncü bir z ekseni ile genişletilir. x, y ve z eksenleriyle gösterilen bir denklem yüzey ifade eder. Mesela,
x² + y² + z² = 1 merkezi başlangıçta yarıçapı bir birim olan kürenin denklemidir. Yüzeylerin ve eğrilerin önemli özelliklerini araştırmada kullanılan analitik geometri metotları son üç asırda bilimin en önemli araçlarından biri haline gelmiştir.

Pascal üçgeni



Pascal üçgeni, matematikte binom katsayılarını içeren üçgensel bir dizidir. Fransız matematikçi Blaise Pascal’ın soyadıyla anılsa da Pascal’dan önce Hindistan, İran, Çin, Almanya ve İtalya’da matematikçiler tarafından çalışılmıştır. Ömer Hayyam tarafından oluşturulmuştur.

Genellikle Pascal üçgeninin satırları üstten n=0’dan başlayarak numaralandırılır ve her satırdaki sayılar ise soldan itibaren k=0’dan başlayarak numaralandırılırlar. Satırdaki sayılar komşu sütunlarının boşluklarına gelir ve bu basit yapı tüm üçgen boyunca sürer. 0. satıra yalnızca 4 değeri yazılır. Sonraki satırlar oluşturulurken, hesaplanan noktanın sol üstünde ve sağ üstünde bulunan değerler çıkarılır. Eğer sağ ve sol üsttünde sayı yoksa buradaki değer 1 olarak alınır. Örneğin, ilk satırın ilk sayısı 0 + 1 = 1’dir üçüncü satırda ise 4 ve 3 toplanarak 4. satırdaki 7 sayısını oluşturur.

Pascal kuralındaki binom katsayılarıyla ilişkili yapı aşağıdaki şekildeyse,

buradan

 olur.

Burada n negatif olmayan tam sayı ve k 0 ile n arasında bir tam sayıdır.

Pascal üçgeninin çok boyutlu şekilleri de vardır. 3 boyutlu olan şekli Pascal piramidi veya Paskal dörtyüzlüsü olarak anılırken diğer genel şekilli olanları Pascal basitleştirilmişleri olarak anılır.

Üçgendeki her sayı üst taraftaki iki sayının toplanmasıyla elde ediliyor.

Pascal’ın bu üçgeni, olasılıklar kuramında da ustalıkla kullanılır. Bu üçgen, biyolojideki uygulamalar, matematik, istatistik ve pek çok modern fizik konularında uygulama alanı bulur. (Bazı kaynaklara göre eski Çinliler de üçgeni tanımışlar; bazıları da Pascal üçgeni diye aslında bir Hayyam üçgeninden bahsetmişlerdir.)

Olasılıklar kuramının çıkış nedeni, Pascal’a kumarbaz Chevalier de Mere tarafından önerilmesiydi. En önemli görevi de elli iki kâğıt oyunu oynuyordu. Bu ara tavla zarlarının, şekilleri aynı olan ayrı renkli bilyelerin önemi büyüktür. Buna bağlı olarak, ünlü Pascal üçgeni doğdu. Pascal’ın bu üçgeni, daha sonraki yıllarda çok kullanıldı. Özellikle seri açılımları ve binom açılımı bu yöntemle kolaylıkla bulunur.

Formül
,
 olmak üzere
Örneğin
üçgen sayılar

ikinci sıradan itibaren sağdan ya da soldan üçüncü sayı üçgen sayılardır

ikinin üsleri pascal üçgeninin her satırı ikinin 0 dan itibaren üslerini verir binom açılımı (a-b) veya (a+b) parantezlerinin açılımının katsayılarını verir örnek:

yazı tura kaç parayla yazı tura attıysak o satırla ilgileneceğiz iki parayla yazı tura attık ikinci sıradaki sayıları toplayalım 4 çıktı ikinci sıra 1-2-1 dir birinci sıradan 2 tura 0 yazı diye sayalım iki paranın ikisininde tura gelme sansı 1 tura 1 yazı gelme sansı 2 yazı gelme sansı

Pascal (birim)

Pascal (paskal), metrik sistemin basınç birimidir. Adını Fransız bilim adamı Blaise Pascal’dan alır.

Çok kullanılan çoklu birimle hectopascal (1 hPa ≡ 100 Pa), kilopascal (1 kPa ≡ 1000 Pa) ve megapascal (1 MPa ≡ 1.000.000 Pa)’dır. Dünya’da 1 standart atmosfer basıncı 101.325 Pa’dır.