İspat Yöntemleri

/ 7 Ağustos 2017 / 742 views / yorumsuz

İspat Yöntemleri nelerdir, matematiksel ispat teknikleri nelerdir? İspat tekniklerinin amacı nedir, nerede kullanılır?

İSPATIN AMACI

İnsanlar kendilerini ifade edebildikleri ilk dönemlerden beri yaşadıkları olaylar hakkında çeşitli fikirler ortaya koymuşlar sonucunda da fikir ayrılıkları ortaya çıkmıştır. Bu zihin çatışmalarının en büyük nedeni ise insanların öne sürdükleri fikirlerin doğruluğunu ispat edememeleridir.

Eğer kişi yaptığı işi ispat ederek ortaya çıkarırsa başka bir kişinin ona itiraz etmesi çok zordur. Örneğin; ilk çağlarda bazı gruplar Dünyanın tepsi gibi düz olduğunu, dünyanın bir öküzün boynuzları üzerinde olduğu ve öküzün sinirlendiği zaman tepsiyi sarstığını düşünerek depreme böyle bir açıklama getirmişler. Bu dönemlerde insanların dinsel inanışlarının güçlü olması bunlara inanmalarını kolaylaştırmıştır. Zaten o zamanki teknolojinin de yetersiz olması ve dünyanın yuvarlak oluşunun ispatlanamaması inanmayı kolaylaştırmıştır.




Fakat yaşadığımız döneme kadar insanlar bilimi geliştirerek yapılan çalışmalar sonucu uzaydan Dünyanın fotoğrafını çekerek Dünyanın yuvarlak olduğunu ispat etmişlerdir. Artık birinin çıkıp da buna itiraz etmesi hem zor bir olasılık hem de saçma bir  davranıştır. Kısaca ispat, gerçekleşen olayın garanti belgesidir. Her bilimde ispat olduğu gibi matematikte fikir karmaşası sonucunda da ispat yöntemleri ortaya çıkmıştır. Matematikteki terimlerin bazıları tanımlı bazıları tanımsızdır. Matematik konuları bu unsurlarında içeren dört temel başlıktan meydana gelmiştir.

 

 

Bunlar:

  1. Tanımsız terimler,
  2. Tanımlı terimler,
  3. Doğruluğu apaçık görülen önermeler,
  4. Aksiyomlardan yararlanarak doğruluğu ispat edilebilen önermeler.

Matematik bilimini oluşturan bu unsurlar çok uzun süren tartışmalar deneyler sonucu ispatlanarak ortaya çıkarılmıştır. Matematikteki düşüncelerin ispatlarının varlığı  matematiği diğer dallardan ayırt eder.

Diğer alanlarda (fizik,biyoloji, astronomi gibi) gözlemciler nesnel olurlar ve daha çok varolan gerçek şeyler üzerinde tahminlerde bulunurlar daha sonra bu tahminleri doğal olaylar veya matematik gibi diğer bilimler aracılığıyla ispat ederler. Bir fizikçi güneş sistemindeki gezegenleri ve bunların hareketlerini diferansiyel denklemle açıklar. Bunun sonucunda bir fizik konusunu ispat ederken diğer bir bilim dalından yararlandığı için kendi kendisine ispat yapması çok zordur.

Matematik ise ispatlarken birincisi aksiyom ya da postulat denilen kesin kurallarda anlaşırlar, ikincisi tanım denilen bazı yardımcı kavramlar ortaya atarlar, üçüncüsü ise aksiyom ya da tanımlarda yer alan kavramlarla ilintili olan önermelere bağlı teorem, önerme, yardımcı teori (lemma) ya da gerekli sonuçlar denilen ifadeleri türetirler. Bir matematikçi matematiksel bir düşünceyi ispatlarken sadece matematiği kullanır yani matematik ispatın temelini oluşturmaktadır.

İspat kavramından yoksun bir matematik deneysel bir bilime benzer.” Matematikte  3+2=5 olmasının nedeni insanlar için çok önemli değildir. Fakat düşünüldüğünde matematiğin sanal temellere dayandığı daha sonra bunların geliştirildiği ortaya çıkar. Matematikte ispatın önemi çok büyüktür. Öncelikle ispatlanamayan bir şey insanlar tarafından kabul edilmez. İspatı yapan kişinin öncelikle çok iyi bir karşılaştırma yeteneği olmalıdır ki doğru ve yanlışı ayırabilmelidir. Düşüncesini soyutlar sonra da ispatla ya da ispatlayamadığına karşıt örneklerle ortaya çıkarır.

Matematik mantıksal sistemler üzerine dayandığından insanlar tarafından kolay anlaşılan bir bilimdir. Matematik bütün hayatımız içinde yer aldığı için eğer ispat olmasaydı hayatımızı olasılıklar üzerine kurmuş olurduk. İnsanların yaptıkları işlemlerin nereden geldiğini,   kullandığı   formüllerin   nelere   dayanarak   ortaya   çıktığını   bilmesi   bunları kullanırken kişiye güven verir çünkü kişi yaptıklarının yüzde yüz doğru olduğunu iddia edebilmektedir.

Sonuçta öngörülen olayı kesin olarak belirlememiz halinde, bu genel olayın gerçekleşmesi için sayısız yol vardır. Çok ender gerçekleşen öngörülen sadece belirli olanlarıdır.

MATEMATİĞİN TEMEL İLKELERİ

Her kelimeyi tanımlamak mümkün olmadığı gibi her hükmü de ispat etmek mümkün değildir. Bir kelime başka kelimelerle tanımlanır o da başka kelimelerle tanımlanır. Böylece kullanılan her kelimeyi tanımlamak için sonsuz şekilde geriye gitmek gerekmektedir ki bunun imkansız olduğu ortaya çıkar.

Bunun gibi Matematikte bir teorem başka teoremlerle, o teoremlerde başka teoremlerle ispat edilir. Her şeyi ispat etmek için, imkansız olan, bir sonsuz geriye gitmek lazım olduğundan, ister istemez bir yerde durmak gerekiyor. Şu halde nasıl ki, tanımlanamayan şeyler varsa, öylece ispat edilemeyen teoremlerde vardır. Bu teoremlere Matematikte “prensipler” denir. Prensipler ispat edilememesine rağmen bütün ispatlar temellerini bunlardan alırlar. Bunların ispatsız kabul edilmelerinin nedeni de budur.

Matematiğe ait, sistematik eserler meydana getiren eski Yunan matematikçileri, bazı hükümleri ispatsız kabul etmek gerektiğinin farkına varmışlardır. Bunlar Oklid, “Elementler” adlı eserinin başında, bu gibi hükümleri ifade etmiştir. Bunlara da “Kabulü İstenen Şeyler” adını vermiştir. Zamanla bu kabulü istenen şeylerin sayısı değişmiştir. Örneğin; 19.yy.’la kadar matematikçiler Oklid’in ispatsız kabul ettiği ve Oklid Postülot’ı denilen “Bir Doğrunun Dışındaki Noktadan, Yalnız Bir Paralel Doğru Çizilebilir.” şeklindeki hükmünü ispat etmeye çalışmışlardır. Fakat, daima ispatsız bir takım hükümler, yeni yeni prensipler kabul etmiştir. Eskiden beri matematikçiler tarafından matematiğin temel prensipleri üç grupta toplanmıştır.

Bunlar:

➢   Tanımlar

➢   Aksiyomlar

➢   Postülotlar

İSPAT TEKNİKLERİ

Matematikte teoremler ve önermeler kendilerine özgü bir iç estetiğe sahip ispatlara dayanır. Zaten matematiği ispat ve ispat tekniklerinden ayrı olarak düşünmek mümkün değildir. İspat tekniklerini genel olarak dört ana başlık altında toplayabiliriz:

  1. Doğrudan İspat
  2. Ters Durum İspatı
  3. Olmayana Ergi (Çelişki) yöntemi
  4. Tümevarım ile ispat

Şimdi bu teknikleri açıklama ve örnekleriyle birlikte inceleyelim.

1     – Doğrudan İspat :




En bilinen ve kolay ispat tekniklerinden biridir. Bu ispat tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar aynen alınıp gösterilmek istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır. Yani bilinen veya bize teoremde verilen bilgileri kullanarak istenilen sonuca ulaşmaya çalışacağımız tekniktir. Bu teknik genel olarak;

P –> Q (P ise Q)

Şeklinde gösterilir. P hipotezinin (sol tarafın) doğru olduğu kabul edilerek, sağ tarafın (Q nun) doğruluğu elde edilir.

Örnek 1 : Bir tek ve bir çift tamsayının toplamı tektir.

İspat 1 : Önce m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım. Açıklamada da belirtildiği gibi bunlardan birinin tek, diğerinin çift olduğunu kabul ederek, toplamlarının tek olduğunu göstereceğiz. Mesela m tek ve n de çift olsun. m+n nin tek olduğunu göstereceğiz. m  tek ve n de çift olduğundan;

m = 2a + 1 n = 2b

olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları vardır. Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift sayıları 2b şeklinde yazabiliriz. Bizden m+n isteniyordu.

m + n = 2a + 1 + 2b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1

olur. a ve b tamsayı olduğundan a + b de bir tamsayıdır ve a + b ye k gibi bir tamsayı dersek;

m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur.

Yani m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir. Öyleyse m + n tek sayı olmalıdır. İspat tamamlanır.

Örnek 2 : Bir tamsayı 6 ile bölünebilirse, 2 katı 4 ile bölünebilir.

İspat 2 : Bir a tamsayısını ele alalım. 6 ile bölünebildiğini kabul edelim. O zaman k bir tamsayı olmak üzere a=6k şeklinde yazılabilir. (Yani 6 ile bölünebiliyorsa k gibi bir tamsayının 6 katı olacaktır). Bunun 2 katı 4 ile bölünebilir mi diye bakacağız. 2 katını alırsak;

2a = 2.6k = 12k olur.

Biz 12 yi aynı zamanda 4.3 olarak da yazabiliriz. O zaman; 2a = 12k = (4.3)k = 4.(3k) olur.

k bir tamsayı olduğundan 3k da bir tamsayı olacaktır. Dolayısıyla buna m gibi  bir tamsayı dersek;

2a = 4.(3k) = 4m olur.

Bu da bize 2a nın, 4 ün bir katı olduğunu yani 4 ile bölünebildiğini gösterir. Böylece ispat tamamlanır.

Bu tür önermeleri doğrudan ispat tekniğini kullanarak görüldüğü gibi ispatlayabiliriz. Bu ispat tekniği kolay olmasına karşın bize her zaman yardımcı olmayabilir. Mesela “Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir” şeklindeki bir önermenin ispatını bu yöntemle vermek oldukça güçtür. Bu sebeple başka ispat yöntemleri geliştirilmiştir. Sıradaki ispat tekniğini açıkladıktan sonra bu soruya tekrar dönüp, ispatının nasıl yapılabileceğini açıklamaya çalışacağım.

2     – Ters Durum İspatı :

Bu ispat genel olarak P ise Q yu göstermek yerine Q değil ise P nin de olamayacağını göstermeye dayanır. Yani bu ifadeyi sözle açıklamak istersek; bize verilen kabullerden yararlanarak istenileni bulmak yerine, istenilenin olmaması (değilinin olması) durumunda, kabullerimizin de olamayacağını (yani değillerinin doğru olması gerektiğini) göstermeye dayanan bir ispat tekniğidir. Bu tekniği örnekler üzerinde daha rahat anlaşılabilir. Az önce belirttiğimiz önermeyi bu yöntemle ispatlamaya çalışalım;

Örnek 3 : Karesi çift olan bir sayının kendisi de çifttir.

İspat 3 : Burada P dediğimiz olay sayımızın karesinin çift olması, Q dediğimiz olay da bu sayının kendisinin çift olması yani;

P = a sayısının karesi çifttir. Q = a sayısının kendisi çifttir.

(hatırlatma : bize verilen kabuller P olarak, istenen ise Q olarak kabul edilir). İlk ispat tekniğimizde P ise Q yu gösteriyorduk ve o teknikle bunu ispatlamanın güç olacağına deyinmiştik. Öyleyse şimdiki ispat tekniği ile yani Q değil ise P nin de olamayacağını gösterelim. Bunu söz ile ifade etmek istersek, bizim göstereceğimiz “Eğer a sayısı tek  ise karesi de tektir.” Bu ispat tekniğinde dikkat edilmesi gereken nokta bu Q değil ise P nin   olmayacağını   doğru   olarak   ifade   etmektedir.   Özetleyecek   olursak;   bu ispat tekniğinde “a nın karesi çift ise a da çifttir” ifadesini göstermek yerine “a tek ise karesi  de tektir” ifadesini göstereceğiz. Şimdi bunu görelim. a yı tek kabul ettiğimizden, öyle bir k tamsayısı için a yı;

a = 2k + 1 olarak yazabiliriz.

a nın karesinin tek olduğunu göreceğiz. Karesini alırsak; a2 = 4k2 + 4k + 1 = 4(k2 + k) + 1 olur.

ve k2 + k bir tamsayı olacağından buna m dersek; a2 = 4(k2 + k) + 1 = 4m + 1 = 2.2m + 1

2m ifadesine de t dersek; a2 = 2t +1 olur.




Bu da bize a2 nin tek olduğunu gösterir. Öyleyse a sayısı eğer tek ise karesinin de mutlaka tek olması gerektiğini gösterdiğimizden, karesi çift ise sayının kendisinin de çift olması gerektiğini söyleyebiliriz. Bu yöntemle önermeyi ilk yönteme göre çok daha kolaylıkla ispatlamış oluyoruz. Bu ispat yönteminin kullanılabileceği başka örnekler de vermeye çalışalım;

Örnek 4 : Eğer bir x sayısı pozitif ise ardışığı da pozitiftir.

İspat 4 : Bizden soruda x>0 ise x+1>0 olduğunu göstermemizi istiyor. Ters durum ispat tekniği ile bunu ispatlamaya çalışırsak; P olayımız x>0 olması ve Q olayımız da x+1>0 olması olduğundan, tekniğe göre Q değil ise P nin de olamayacağını yani; x+1<0 ise x<0 olması gerektiğini göstermeliyiz. (sıfıra eşit olma durumunu göz önüne almıyoruz çünkü x+1=0 olduğunda x=-1<0 olduğu ve şartı sağladığı aşikardır). Öyleyse elimizde şimdi x+1<0 kabulü var.

x+1<0 ise x<-1 ve -1<0 olduğundan x<-1<0 yani x<0 dır.

Böylece x+1<0 ise x in mutlaka x<0 şartını sağlayacağını gösterdiğimizden x>0 olduğunda

x+1 mutlaka x+1>0 şartını sağlamalıdır diyebiliriz.

Örnek 5 : X.Y tek sayıdır ancak ve ancak X ve Y nin her ikisi de tektir.

İspat 5 : Ancak ve ancak türünden ifade edilen önermelerde, önermeyi iki taraflı ispatlamalıyız. Önce sol tarafın doğruluğunu kabul edip sağ tarafı gösterelim. Yani, X.Y tek sayı ise X ve Y nin her ikisinin de tek olması gerektiğini görelim. Bunu ters durum ispatı ile gösterelim.

(==>)

P = X.Y nin tek sayı olması

Q = X ve Y nin her ikisinin de tek olması.

Burada tekniğe göre öncelikle Q nun değilini alıp, buradan P nin değilini elde etmemiz gerekir. Sizin de gördüğünüz gibi bu önermede Q nun değili 2 ye ayrılmaktadır. Yani X ve Y nin her ikisinin birden tek olmaması durumu, ya ikisinin de çift olması ya da birinin çift diğerinin tek olması durumunu getirir. Önce her ikisinin de çift olması durumunu inceleyelim;

X ve Y her ikisi de çift ise öyle A ve B tamsayıları için X = 2A ve Y = 2B olsun. Öyleyse;

X.Y = 2A.2B = 2(A.2B)

ve A.2B de bir tamsayı olacağından buna C dersek;

X.Y = 2(A.2B) = 2C yani X.Y = 2C olur.

Öyleyse X.Y çifttir. X ve Y nin her ikisini de çift olduğu takdirde X.Y nin çift olması gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu bölümü tamamlandı.

X tek ve Y çift olması durumunu ele alalım. Öyleyse uygun A ve B tamsayıları için; X = 2A+1 ve Y = 2B olsun.

X.Y = (2A+1).(2B) = 4AB + 2B = 2(2AB + B) olur.

Yine 2AB + B sayısı bir tamsayı olacağından buna C gibi bir tamsayı dersek;

X.Y = 2(2AB + B) = 2C olur.

Yani yine X.Y nin bir çift sayı olduğunu bulduk.

Öyleyse ters durum ispatına göre Q nun değili durumları olan X ve Y nin çift olması  veya birinin çift diğerinin tek olası durumlarında P nin değili yani X.Y nin çift olması gerektiğini gösterdiğimizden ispatın bu tarafı tamamlanır. Şimdi de ispatın diğer yönünü yani, sağ tarafın doğru olduğunu kabul edip, sol tarafı gösterelim. Söz ile ifade edersek X ve Y nin her ikisinin de tek olması durumunda X.Y nin de tek olacağını göreceğiz.

(<==) Bu tarafı göstermek için ilk gördüğümüz ispat yöntemi olan doğrudan ispat  yöntemi daha uygundur. X ve Y nin her ikisinin de tek olduğunu kabul ederek X.Y nin de tek olması gerektiğini göstereceğiz. X ve Y tek ise, uygun A ve B tamsayıları için;

X = 2A + 1 ve Y = 2B + 1 olsun.

X.Y = (2A + 1).(2B + 1) = 4AB + 2A + 2B + 1 = 2(2AB + A + B) + 1

Burada yine 2AB + A + B ifademiz bir tamsayı olacağından buna C dersek;

X.Y = 2(2AB + A + B) + 1 = 2C + 1 olacaktır.

Buradan da görüldüğü gibi X.Y tek sayı bulunur. Öyleyse doğrudan ispat tekniğiyle de ispatın bu yönünü göstermiş bulunuyoruz.

Her iki yönden de önermenin doğruluğunu gösterdiğimize göre ispatı tamamlamış bulunuyoruz.

Bu örnekten de görüleceği üzere bazı önermeleri ispatlamak için birden fazla ispat tekniğini kullanmamız gerekebiliyor. Her ispat tekniğinin kendine göre  getirdiği kolaylıklar bulunmaktadır. Şimdiye kadar görmüş olduğumuz doğrudan ispat ve ters durum ispatından başka “olmayana ergi” adı verilen bir diğer ispat yöntemini de ifade etmeye çalışalım;

3     – Olmayana Ergi (Çelişkiyle ispat) Tekniği :

Bu ispat tekniğinde hipotez aynen alınırken, hükmün bir parçası olumsuz alınır ve bir çelişki ortaya çıkarılır. O zaman yanlışın baştaki kabule dayandığı söylenerek ispat yapılır. Bunu örnekler ile görelim.

Örnek 6 : Kendi kendisiyle toplandığında kendisini veren sayı sıfırdır.

İspat 6 : Bir x sayısını ele alalım. Önermede bizden x+x=x ise x=0 olduğunu göstermemiz isteniyor. Bu teknik ile ispatı göstermeye çalışalım. Hükmü (veya bazı durumlarda hükmün bir parçasını) olumsuz olarak alalım. Yani kabul edelim ki, x  sıfırdan farklı bir sayı olsun. Bu durumda x+x ifadesine bakalım. Önermede bize x+x in x olduğu verilmişti. Yani x+x=x denilmişti. Ayrıca biz biliyoruz ki x+x=2x tir. Öyleyse bu eşitlikleri birleştirerek;

x = 2x elde ederiz. x i sıfırdan farklı kabul ettiğimizden dolayı taraf tarafa x leri sadeleştirirsek (x in sıfırdan farklı olduğunu kabul etmeseydik bu sadeleştirmeyi yapamazdık).

1 = 2 sonucu elde edilir. Bu ise bir çelişkidir. Bu çelişki x i sıfırdan farklı almamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse x=0 olmalıdır. Sonuç olarak x=0 olması gerektiğinden ispat tamamlanmış oldu.

Bu önermeden de görüldüğü gibi hükmü olumsuz kabul ederek bize verilen hipotezi kullanıp bir çelişkiye vardık. Bu çelişkinin sebebi de hükmü olumsuz kabul etmemizdir. Tabi bu önermede x in sıfır olması gerektiği kolaylıkla görülebiliyor ancak tekniği anlayabilmek açısından böyle bir önerme seçtim.

Örnek 7 : sayısının rasyonel sayı olmadığını gösterin.

İspat 7 : Önermede bizden sayısının irrasyonel bir sayı olduğunu göstermemiz isteniyor.

Olmayana ergi yöntemiyle bu ispatı yapmaya çalışalım. Tekniğe göre hükmü olumsuz kabul edelim, yani sayısı rasyonel bir sayı olsun diyelim ve bir çelişkiye varalım. O zaman sayısını, tek ortak böleni 1 olan p ve q gibi iki tamsayının oranı şeklinde yazabiliriz. (Not: p ve q nun tek ortak böleninin 1 olması p/q nun bir tamsayı değil rasyonel sayı olmasını ve p/q da pay ve paydanın herhangi bir tamsayı ile sadeleştirilemeyeceğini verir). Yani = p/q diyebiliriz. Her iki tarafın da karesini alalım. 2 = p2/q2 olur. Her iki yanı q2 ile çarparsak;

2q2 = p2 olur. Öyleyse buradan p2 nin bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz. O zaman 3  nolu örnekte ispatladığımız sonucu kullanarak p nin de bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz. p çift bir sayı ise öyle bir n tamsayısı için p=2n olarak alalım.

2q2 = p2 bulmuştuk. p nin 2n olan değerini burada yerine koyarsak; 2q2 = p2 = (2n)2 = 4n2 olur. Yani 2q2 = 4n2 dir. 2 leri sadeleştirirsek;

q2 = 2n2 olur. Bu ise bize q nun da bir çift sayı olduğunu gösterir. Öyleyse yine 3 nolu örnekte ispatladığımız sonucu kullanırsak q nun da bir çift sayı olduğunu söyleyebiliriz.  q çift bir sayıysa öyle bir m tamsayısı için q=2m olarak yazabiliriz.

Bir önceki adımda da p=2n olarak bulmuştuk. Öyleyse p=2n ve q=2m olduğundan p ve  q nun 2 gibi bir ortak böleni vardır. Ancak başta p ve q nun tek ortak böleninin 1 olduğunu söylemiştik. Bu durumda bir çelişki karşımıza çıkmıştır. Bu çelişkinin nedeni yi rasyonel bir sayı olarak kabul edip tek ortak böleni 1 olan p ve q  tamsayılarını  kullanarak p/q şeklinde yazmamızdan kaynaklanmaktadır. Öyleyse sayısı rasyonel bir sayı olmaz, yani irrasyoneldir.

Bu ispat yöntemi ters durum ispatına benzemesine rağmen farklı olarak hipotezin olumsuzu yerine bir çelişkiye varmaya çalışıyoruz. Bu ispat tekniklerinden farklı olarak bir de tümevarım ile ispat tekniği vardır. Şimdi bu tekniği açıklayıp örnekler verelim.

4     – Tümevarım İle İspat Tekniği :




En çok bilinen ve kullanılan ispat tekniklerinden biridir. Bu teknikte, ispatın yapılacağı kümede, eleman sayısının sayılabilir sonsuzlukta olması durumunda, bir p özelliğinin “1” için var olduğu gösterilir. Sonra k için özelliğin  var olduğu kabul edilir ve k+1 için özelliğin ispatı yapılır.

k yı en kötü durumda 1 olarak düşündüğümüzde ve 1 için ispatın sağlandığını ilk  adımda göstermiş olduğumuzdan, önermenin k için doğru olduğunu kabul etmemiz yanlış bir kabul olmayacaktır. Sonra k+1 için sağlandığını ispatladığımızdan 2 için de sağlandığı gösterilmiş olur. Bu sefer 2 için sağlandığından, k yı 2 gibi düşünürsek k+1 yani 3 için de ispat sağlanacak, 3 için sağlandığından yine aynı mantıkla 4 için de sağlanacak … ve bu şekilde genel bir ispat yapılmış olacaktır. İlk başlangıç adımının her zaman “1” olması zorunlu değildir, “3 ten büyük tamsayılar için önermenin sağlandığını gösterin” gibi bir durumda başlangıç adımını 3 gibi bir sayı da seçebiliriz. Sonra yine aynı şekilde k için doğru olduğunu kabul edip, k+1 için doğruluğunu göstererek ispatı genelleriz. Bu tekniği kullanarak ispatı yapılan bir çok önerme bulunmaktadır. Şimdi bunlara bir kaç örnek verelim.

Örnek 8 : 1 + 3 + 5 + … + 2n-1 biçimindeki sayıların toplamının n=1,2,3,4,5,… tamsayılarının her biri için n2 olduğunu gösteriniz.

İspat 8 : Tümevarım tekniği ile ispatı yapılabilen toplam serileri üzerine iyi bilinen örneklerden biridir. Tekniğe göre ilk adım olarak “1” için önermenin doğruluğunu  görelim;

n=1 için : n=1 için bakacak olursak serinin toplamı 1 olacaktır. Sonuçta 1 = 12 olduğundan n=1 için önerme doğrudur.

n=k için önerme doğru olsun : Yani 1 + 3 + 5 + … + 2k-1 = k2 olsun.

n=k+1 için : n=k+1 için önermenin doğru olduğunu göstermek için;

1 + 3 + 5 + … + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermeliyiz. Burada eşitliğin  sol  tarafındaki en son terimden bir önceki terim de yazılacak olursa;

1 + 3 + 5 + … + 2k-1 + 2(k+1)-1 = (k+1)2 olduğunu göstermek istiyoruz. Bir önceki adımdaki kabulümüzden dolayı;

1 + 3 + 5 + … + 2k-1 = k2 olduğunu biliyoruz. Bunu yerine yazarsak

1 + 3 + 5 + … + 2k-1 + 2(k+1)-1 = k2 + 2(k+1)-1 olacaktır. Bunun da (k+1)2 ye eşit olduğunu göreceğiz.

k2 + 2(k+1)-1 = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 dir.

Böylece önermenin k için doğru olduğunu kabul ederek k+1 için de sağlandığını göstermiş ve genel anlamda ispatlamış oluyoruz.

Örnek 9 : Bazı pozitif n tamsayıları için 22n -1 in 3 ün katı olduğunu gösterin.

İspat 9 : Bu önerme de tümevarım ile kolaylıkla gösterilebilir.

n=1 için : 22n -1 = 22.1 -1 = 22 -1 = 4 – 1 = 3 olur. Yani 3 ün bir katıdır. Öyleyse n=1 için önerme sağlanır. Şimdi n=k için sağlandığını kabul edip, n=k+1 için inceleyelim;

n=k için önerme doğru olsun : Yani n=k için 22n -1, 3 ün bir katı olmuş olsun. Bunu öyle bir m tamsayısı için 22k -1 = 3m (*) olarak gösterelim.

n=k+1 için : 22(k+1) -1 ifadesinin 3 ün bir katı olduğunu göstermemiz gerekiyor. Bu ifadeyi açacak olursak;

22(k+1) -1 = 22k+2 -1 = 22k.22 -1 = 4.22k -1 (**) elde ederiz. Kabulümüzden, yani (*) dan 22k    yı çekersek;

22k -1 = 3m dediğimizden 22k = 3m + 1 elde ederiz. Bunu (**) ifadesinde  yerine yazarsak;

22(k+1) -1 = 4.22k -1 = 4.(3m+1) – 1 = 12m + 4 – 1 = 12m + 3

12m + 3 ifadesini de 3 parantezine alırsak 3(4m+1) elde edilir. Burada 4m+1 ifadesi bir tamsayı olacağına göre, buna p gibi bir tamsayı dersek;

22(k+1) -1 = 12m + 3 = 3p olacaktır. Öyleyse 22(k+1) -1 ifadesi 3 ün bir katıdır. Böylece n=k+1 için de önermenin doğruluğunu ispatlamış olduk. O zaman tümevarım ile bu önermenin genel olarak sağlandığını söyleyebiliriz.

Tümevarım tekniğinin kullanımı üzerine başta açıklama yaparken her ispatta ilk adım olarak n=1 almak zorunda olmadığımıza, n=2 , 3 veya önermeye göre başlangıç için farklı tamsayılar alabileceğimize deyinmiştik. Şimdi bunun üzerine bir önermenin ispatını verelim.

Örnek 10 : 2 den büyük ve eşit tamsayılar için n2 > n+1 eşitsizliğinin sağlandığını gösterin.

İspat 10 : Burada başlangıç adım olarak 2 seçmemiz gerekiyor, çünkü önermemizin 2 den büyük tamsayılar için sağlandığını ispat etmemiz isteniyor.

n=2 için : n2 > n+1 olduğunu görmeliyiz.

n2 = 22 = 4 > 3 = 2+1 = n+1 olduğundan n2 > n+1 eşitsizliği n=2 için sağlanır.

n=k için önerme doğru olsun : n=k için n2 > n+1 özelliği sağlanıyor olsun, yani k2 > k+1 eşitsizliğinin sağlandığını kabul edelim.

n=k+1 için : (k+1)2 > (k+1)+1 sağlandığını göstermeliyiz. Eşitsizliğin sol tarafındaki kare ifadeyi açalım;

(k+1)2 = k2 + 2k + 1 elde edilir. Kabulümüzden k2 > k+1 olduğundan, k2 yerine ondan daha küçük olan k+1 yazarsak;

(k+1)2 > k2 + 2k + 1 > (k+1) + 2k + 1 = 3k + 2 elde ederiz. Burada k değişkenimiz, 2 den büyük veya eşit bir tamsayı olduğundan 3k yerine k yazdığımızda ifademiz küçülecektir.

Öyleyse;

(k+1)2 > 3k + 2 > k + 2 = (k+1) + 1 elde ederiz. Böylece n=k+1 için de aradığımız özellik olan (k+1)2 > (k+1)+1 özelliği sağlanmış olur, ispat tamamlanır.

Görüldüğü gibi tümevarım kullanılarak, bize verilen önermenin genel olarak sağlanıp sağlanmadığını ispatlayabiliyoruz.

İSPAT’IN KULLANIM ALANLARI

İspat, günlük yaşantımızda ve neredeyse bilimin her dalında kullandığımız bir araçtır. İspat mantığa dayanır ve mantıkta insanların karar vermede kullandığı en önemli dayanaktır. Bu yüzden ispat günlük yaşantımızda büyük yer tutar. İnsanlar, daima doğrulara ulaşmak ister. Bu her dalda geçerlidir ve buldukları sonuçları sabitleyebilmek için ispata gerek duyarlar.

Bilimde ispat temeldir. Eğer biz hipotezlerimizi kanıtlamak istiyorsak, bunu deneyler ve çeşitli yollarla kanıtlamalıyız. Aksi taktirde hipotezlerimiz kanıtlanamaz, teori veya kanun olamazlar.

PROBLEM

VERİ

PROBLEME DAYALI HİPOTEZ KURMA

DENEY(ispat)  =>> KABUL veya TERK

Bu şekilden de anladığımız gibi ispat bilimin her dalında hipotezin kanıtlanması için kullanılır. Eğer deney kısmında hipotezimizi ispatlayamazsak hipotez terk edilir bu yüzden bilimde ispatın yeri büyüktür.

İspat, bilimin her alanında kullanılır. Örneğin;

Geometride bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir. Çünkü iki iç açının toplamı bir dış açıya eşittir ve bu dış açının bütünleyeni toplama alınmayan diğer iç açıdır ve bu üç açının toplamı 180 derece yapar. Bunu öğrenciye kanıtlamazsak hem öğrencinin kafası karışır hem de bilgi öğrencinin kafasına tam olarak oturmadığı için tam anlamıyla bir öğrenme sağlanamaz.

Der(A)+der(B)=der(C1) 180 –der(C1)=der(C2)

ise der(A)+der(B)+der(C2)=180

Biz ispatı coğrafyada da kullanırız. Örneğin;




Dünyanın yuvarlak olduğu sürekli batıya giderek bulunmuştur çünkü biz sürekli batıya gidersek en sonunda başlangıç noktamıza geri dönüş yapmış oluruz ve bundan yararlanarak dünyanın yuvarlak olduğunu söyleyebiliriz. Eğer öğrenci  dünyanın  yuvarlak olduğunu sadece sözel bir kavram olarak düşünürse elbette ki bu bilgi kalıcı olmayacaktır. Bu sebeple bir bilgiyi sunduğundunuz kişilere mutlaka o bilginin nereden geldiğini göstermek gerekir.

İspatın amacı bilgilerin doğruluğunu kanıtlamaktır ve bu düşünen insanların bulunduğu her yerde geçerli ve gereklidir .İspat amaçladığı öncelikli olarak budur.

 

İspatın Öğrenciye Katkıları

Matematiksel iddiaların ispatlarının varlığı matematiği diğer dallardan ayırt eder. İspat kavramından yoksun matematik deneysel bir bilime benzer. Her şeyden  önce ispat,ispatı yapanın sağlam muhakemeli olmasını ister. Daha sonra matematikte araştırmalarını soyutlama ile yapar,tahminlerini ya ispat yada ispatlayamadığında karşıt örneklerle sonuçlandırmaya çalışır. İspat tüm bilimlerde önemlidir. Ortaya atılan bir teorinin doğruluğunun ispatlanması gerekir. Aksi halde teori geçersiz veya şüphelidir. Matematikte de bir teorinin ispatı aksiyonlar yardımı ile yapılır. Aksiyomlar doğruluğunu akıl ve mantığımızla kabul ettiğimiz kurallardır.

İspat yapan öğrenci teoremi daha iyi anlar,uzun süre unutmaz. Öğrencinin problemler hakkında kafasında biriken soru işaretleri kaybolur. Çözdüğü problemler daha anlamlı, daha akılcı olacağı için çözene zevk verir, başarılı olmasını sağlar. İnsan beyninin muhakemeli olarak çalışmasını sağlar. Zaten insan beyni sağlıklı kaynaklara dayalı olarak düşünmelidir. Sonuç olarak ispat insanın seviyesine göre olmalıdır ve yapılmalıdır.

Yorum yaz

Kategoriler
E-Mail Aboneliği

E-Posta adresinizi aşağıdaki bölümden bültenimize ekleyerek yeni yazılarımızdan haberdar olabilirsiniz.